PERKALIAN SILANG (CROSS PRODUCT)

PERKALIAN SILANG (CROSS PRODUCT)#

DEFINISI HASIL KALI SILANG#

Misalkan terdapat dua vektor di ruang tiga dimensi \(\mathbb{R}^3\) sebagai berikut:

\[\begin{split} \vec{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} \end{split}\]

Hasil kali silang (cross product) dari \(\vec{u}\) dan \(\vec{v}\), yang dituliskan sebagai \(\vec{u} \times \vec{v}\), adalah sebuah vektor yang:

  • Tegak lurus terhadap kedua vektor \(\vec{u}\) dan \(\vec{v}\)

  • Arah ditentukan oleh kaidah tangan kanan

  • Besarnya sama dengan luas jajar genjang yang dibentuk oleh \(\vec{u}\) dan \(\vec{v}\)

Secara komponen, hasil kali silang didefinisikan sebagai:

\[\begin{split} \vec{u} \times \vec{v} = \begin{bmatrix} u_2v_3 - u_3v_2 \\ u_3v_1 - u_1v_3 \\ u_1v_2 - u_2v_1 \end{bmatrix} \end{split}\]

  1. Sifat-sifat Cross Product

  • \(\vec{u} \times \vec{v}\) tegak lurus terhadap \(\vec{u}\) dan \(\vec{v}\)

  • \(\vec{u} \times \vec{v} = -(\vec{v} \times \vec{u})\)

  • Panjang hasil kali silang

Cross product hanya didefinisikan untuk vektor di \(\mathbb{R}^3\), tidak berlaku untuk \(\mathbb{R}^2\) atau dimensi lain secara langsung.

MENGGUNAKAN DETERMINAN UNTUK MENEMUKAN PERKALIAN SILANG#

Untuk menemukan hasil kali silang antara dua vektor \(\vec{u}\) dan \(\vec{v}\), kita bisa menggunakan bentuk determinan dari matriks \(3 \times 3\) seperti di bawah ini:

Misalkan:

\[\begin{split} \vec{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} \end{split}\]

Maka, hasil kali silang \(\vec{u} \times \vec{v}\) dapat dihitung sebagai:

\[\begin{split} \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} \end{split}\]

Dengan menggunakan ekspansi kofaktor pada baris pertama, kita peroleh:

\[ \vec{u} \times \vec{v} = \hat{i}(u_2v_3 - u_3v_2) - \hat{j}(u_1v_3 - u_3v_1) + \hat{k}(u_1v_2 - u_2v_1) \]

Atau dalam bentuk komponen vektor:

\[ \vec{u} \times \vec{v} = (u_2v_3 - u_3v_2)\hat{i} - (u_1v_3 - u_3v_1)\hat{j} + (u_1v_2 - u_2v_1)\hat{k} \]

Catatan

  • Metode determinan ini adalah cara sistematis untuk menghitung hasil kali silang.

  • Vektor hasil \(\vec{u} \times \vec{v}\) selalu tegak lurus terhadap \(\vec{u}\) dan \(\vec{v}\).

SOAL :

Contoh Soal Perkalian Silang#

Gunakan rumus determinan untuk mencari hasil dari \(\vec{u} \times \vec{v}\).

Diketahui:#

\[\begin{split} \vec{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \end{split}\]

Rumus Perkalian Silang (Cross Product):#

\[\begin{split} \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \hat{i}(u_2v_3 - u_3v_2) - \hat{j}(u_1v_3 - u_3v_1) + \hat{k}(u_1v_2 - u_2v_1) \end{split}\]

Substitusi nilai komponen:#

\[\begin{split} \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} \end{split}\]

Hitung tiap komponen:

  • Komponen \(\hat{i}\): $\( \hat{i}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = \hat{i}(0) \)$

  • Komponen \(\hat{j}\): $\( -\hat{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 2) = -\hat{j}(1 - 2) = -\hat{j}(-1) = \hat{j} \)$

  • Komponen \(\hat{k}\): $\( \hat{k}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 2) = \hat{k}(1 - 2) = \hat{k}(-1) \)$

Jadi, hasil dari \(\vec{u} \times \vec{v}\) adalah:#

\[\begin{split} \vec{u} \times \vec{v} = 0\hat{i} + \hat{j} - \hat{k} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} \end{split}\]

geogebra-export.png

Contoh Soal Perkalian Silang (Kebalikan Urutan)#

Sekarang kita hitung hasil dari \(\vec{v} \times \vec{u}\) menggunakan rumus determinan.

Diketahui:#

\[\begin{split} \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \vec{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \end{split}\]

Rumus Perkalian Silang:#

\[\begin{split} \vec{v} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix} = \hat{i}(v_2u_3 - v_3u_2) - \hat{j}(v_1u_3 - v_3u_1) + \hat{k}(v_1u_2 - v_2u_1) \end{split}\]

Substitusi nilai:#

\[\begin{split} \vec{v} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \end{split}\]

Hitung tiap komponen:

  • Komponen \(\hat{i}\): $\( \hat{i}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = \hat{i}(0) \)$

  • Komponen \(\hat{j}\): $\( -\hat{j}(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = -\hat{j}(2 - 1) = -\hat{j}(1) \)$

  • Komponen \(\hat{k}\): $\( \hat{k}(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = \hat{k}(2 - 1) = \hat{k}(1) \)$

Maka hasil dari \(\vec{v} \times \vec{u}\) adalah:#

\[\begin{split} \vec{v} \times \vec{u} = 0\hat{i} - \hat{j} + \hat{k} = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \end{split}\]

geogebra-export (1).png

Soal 1: Luas Jajaran Genjang dan Segitiga (Cross Product)#

1. Luas jajaran genjang dari \(\vec{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\) dan \(\vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}\)#

Untuk vektor 2 dimensi, gunakan rumus:

\[ \text{Luas} = |u_1 v_2 - u_2 v_1| \]

Substitusi:

\[ = |1 \cdot 1 - 2 \cdot 2| = |1 - 4| = |-3| = \boxed{3} \]

2. Luas jajaran genjang dari \(\vec{u} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix}\) dan \(\vec{v} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix}\)#

\[ = |2 \cdot 3 - 0 \cdot 0| = |6| = \boxed{6} \]

3. Luas segitiga dengan titik-titik sudut: \((0, 0, 0),\ (1, 3, -1),\ (2, 1, 1)\)#

Vektor-vektor:

\[ \vec{u} = (1, 3, -1) - (0, 0, 0) = (1, 3, -1) \]
\[ \vec{v} = (2, 1, 1) - (0, 0, 0) = (2, 1, 1) \]

Hitung \(\vec{u} \times \vec{v}\):

\[\begin{split} \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) - \hat{j}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) + \hat{k}(1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) \end{split}\]
\[ = 4\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k} \]

Luas segitiga:

\[ \text{Luas} = \frac{1}{2} \left\| \vec{u} \times \vec{v} \right\| = \frac{1}{2} \sqrt{4^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{50} = \boxed{\frac{\sqrt{50}}{2}} \]

4. Luas segitiga dengan titik-titik sudut: \((5,2,-1),\ (3,6,2),\ (1,0,4)\)#

Vektor-vektor:

\[ \vec{u} = (3, 6, 2) - (5, 2, -1) = (-2, 4, 3) \]
\[ \vec{v} = (1, 0, 4) - (5, 2, -1) = (-4, -2, 5) \]

Hitung \(\vec{u} \times \vec{v}\):

\[\begin{split} \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 4 & 3 \\ -4 & -2 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 \cdot 5 - 3 \cdot (-2)) - \hat{j}(-2 \cdot 5 - 3 \cdot (-4)) + \hat{k}(-2 \cdot (-2) - 4 \cdot (-4)) \end{split}\]
\[ = 26\hat{i} - 2\hat{j} + 20\hat{k} \]

Luas segitiga:

\[ \text{Luas} = \frac{1}{2} \left\| \vec{u} \times \vec{v} \right\| = \frac{1}{2} \sqrt{26^2 + (-2)^2 + 20^2} = \frac{1}{2} \sqrt{1080} = \boxed{\frac{\sqrt{1080}}{2}} \]
Contents