Dot Product (Hasil Skalar)
Dot product (atau hasil skalar) adalah cara mengalikan dua vektor, dan hasilnya adalah sebuah angka (skalar).
Misalkan ada dua vektor dua dimensi:
\[\begin{split}
\mathbf{v} =
\begin{bmatrix}
v_1 \\
v_2
\end{bmatrix}, \quad
\mathbf{w} =
\begin{bmatrix}
w_1 \\
w_2
\end{bmatrix}
\end{split}\]
Maka dot product dari kedua vektor tersebut adalah:
\[\begin{split}
\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} =
\begin{bmatrix}
v_1 \\
v_2
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
w_1 \\
w_2
\end{bmatrix}
= v_1 \cdot w_1 + v_2 \cdot w_2
\end{split}\]
Atau secara umum (untuk vektor berdimensi (n)):
Jika:
\[
\mathbf{a} = [a_1, a_2, \ldots, a_n], \quad \mathbf{b} = [b_1, b_2, \ldots, b_n]
\]
Maka:
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n =
\]
Contoh:
Jika:
\[\begin{split}
\mathbf{v} =
\begin{bmatrix}
2 \\
3
\end{bmatrix}, \quad
\mathbf{w} =
\begin{bmatrix}
4 \\
5
\end{bmatrix}
\end{split}\]
Maka:
\[
\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 8 + 15 = 23
\]
CATATAN
jika hasil dari dua vektor tersebut 0 maka kedua vektor tersebut memiliki garis yang sejajar dan memiliki sudut 90°
Panjang Vektor (Norma Vektor)
Misalkan ada sebuah vektor yang bisa kita anggap sebagai daftar angka:
\[\mathbf{v} = [v_1, v_2, \ldots, v_n]\]
Panjang vektor ini dihitung dengan cara Teorema Pythagoras:
\[
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{x^2 + y^2}
\]
Artinya, kita kuadratkan setiap angka, lalu jumlahkan semuanya, dan ambil akar kuadrat dari hasil penjumlahan itu.
Panjang vektor ini juga bisa dihitung menggunakan perkalian titik (dot product) antara vektor itu dengan dirinya sendiri:
\[
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}
\]
Contoh
Misalkan ada vektor
\[\mathbf{v} = [3, 4]\]
Maka panjang vektornya adalah:
\[
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
Jadi, panjang vektor \(\mathbf{v}\) adalah 5.
